Question

证明是周期函数

Answer 1

1.直观法若函数图像可由某一段重复平移而衔接得到，则该函数是周期函数，且这一段图像两端点的横坐标之差是这个函数的一个周期.例如：正弦函数及余弦函数.正弦函数 余弦函数 2.利用函数运算特性判定函数的周期性定理 两个周期（这个周期不一定是最小正周期）相同的周期函数的和、差、积、商（作为分母的周期函数不能为零）也是周期函数，并且周期不变.定理 周期函数的绝对值函数也是周期函数，即若 是周期函数， 是它的周期，则 也是周期函数，并且 也是它的周期.例1证明函数 是周期函数并求出它的一个周期.分析： 和 都是周期函数， 是他们的周期，所以由上面定理2知 和 都是周期函数，并且 是他们的周期，则由上面定理1得 也是周期函数.又因为 = ，所以 是 的一个周期.3.利用递推关系式判定函数的周期性 不少判定周期函数的问题，其已知条件都显含或隐含了某种递推关系，顺着这种递推关系推演下去，或许可以找出周期 的值.例2函数 定义域为 ，对任意的 ， 是周期函数吗？为什么？分析与简解：已知条件 是一个递推关系式.按此递推关系探索下去： 以 代入，得 ； 又以 代入，即得到 .由定义知 是 的一个周期， 是一个周期函数.例3 定义域为 ，对任意的 且 .证明： 为周期函数.分析与简解：此题由条件 暗含了递推关系：取 代入 就有 由此出发继续递推下去：以 代入，得 ； 以 代入，可得 ； 以 代入，即得 .由定义知 是 的一个周期， 是周期函数.4.利用“观察、猜测、证明”的思想方法判定函数的周期性周期函数的定义式 ，它所反映的函数值周而复始重复呈现的周期特征，必能从它的一些特定的函数值上呈现出来.根据命题的条件，如果能求出自变量取一系列特殊的值时，对应的函数值呈现出一个固定的间隔内重复出现的周期特征，就可依此猜测出函数的一个周期，再证明这个猜测的正确性即可.

Answer 2

xcosx不是,sin²x=(1-cos2x)/2,所以是周期函数