Question

循环群为什么和 z 或 zn同构

Answer 1

在群论里，循环群是指能由单个元素生成的群。即存在一群内的元素'(此元素称为此群的生成元)，使得群内的每个元素均为'的若干次方，当群的运算以乘法表示时(为'的倍数，若群的运算以加法表示)。
定义
设('，·)为一个群，若存在一'内的元素'，使得' = <'> = { '' ?' }，则称'关于运算“·”形成一个循环群。由群内的一个元素所生成的群均为循环群，而且是此群的子群。当群G内含有'的唯一子群为'本身时，可证明'是循环群。

例如，若' = { ', '1, '2, '3, '4, '5 }, 则'为循环的，且'同构於模 6 的加法群：{}。
分类
对於每一个正整数 n ，都存在唯一一个（在同构的意义上）阶为此正整数 n 的循环群，或者说，所有的 n 阶循环群都和模 n 的同余类构成的加法群Z/nZ同构。如果一个循环群的阶是无限的，那么它同构于整数关于加法构成的群。因此，循环群已被完全分类，是最简单的一种群。
标记
由于循环群必然是阿贝尔群，且与加法群Z/nZ或整数的加法群同构，它的运算常常会以加法写出，且被标记为Z'；但数论学家一般会避免使用这种标记，因为它和对应於一个素数的p进数环或局部化的标记相冲突，容易混淆，因此也有直接记作Z/n'Z，或以乘法写出，标记为''的。(如在'5中的'3'4 = '2，在同构的意义上和Z/5Z中的 相同。）

所有的有限循环群皆为周期群。
性质
每一个循环群都同构模'的加法群：{或整数的加法群Z。因此，要了解循环群的一般性质，只需要看这些群有什麽性质就可以了。所以，循环群是最容易去学习的群，且有许多的良好性质。设'是一个'('可能是无限的，代表同构于整数)阶的循环群，'是'中一个元素，则：

G为交换群。这是因为' + ' mod ' = ' + ' mod '。
若'为有限的，则，因为 ' mod ' = 0。
若'为无限的，则恰好存在两个生成元，对Z而言，被称为1及?1，且其他同构于'的群均是无限循环群。
若'为有限的，则存在着恰好φ(n)个生成元，其中φ为欧拉函数。
'的每一个子群都是循环群。且确实地，每一个'的 m 阶有限子群皆为模 m 的加法群{0,1,2,3,,'?1}。而每一个'的无限子群都可以表示成m'Z，同构於Z。
''同构於Z/nZ(Z'nZ上的商群)，因为Z/nZ = {0 +'nZ, 1 + nZ, 2 +'nZ, 3 + nZ, 4 +'nZ, , ' ? 1 + n'Z} 以'为模之加法的{ 0, 1, 2, 3, 4, , ' ? 1}。
Z/n'Z的生成元为和'互质的整数之同余类；其生成元的数目被称为φ(')，其中φ为欧拉函数。
更一般的，若'为'的因数，则在Z/n'Z中，阶为'的元素有φ(')个。同余类'的目为' / gcd(',')。
若'一质数，则阶为'的群都同构于循环群Z'。
Z'和Zm两个循环群的直积是循环群若且唯若'和'互质。故Z12（一个循环群）会是Z3和Z4的直积，而不会是Z6和Z2的直积。
由定义直接可知，循环群有一其型式为< ' | '' >之非常简单的展现。
有限产生阿贝尔群||阿贝尔群的基本定理说明每一个有限产生阿贝尔群都是有限多个循环群的直积。
Z'和Z都是可交换环。若'为一质数，则Z'为一有限域，且亦可标记为F'或GF(')。其他每一个具有'个元素的域都与其同构。
环Z'的可逆元为和'互质的数。它们形成一个整数模n的乘法群；它有φ(')个元素，记作Zn×。
例如，当'=6时有Zn× = { 1, 5}，而当'=8时则有Zn× = {1,3,5,7}。

实际上可以证明，Zn×为循环的若且唯若'为2或4或''或2 ''，其中'为一奇质数，'≥1。这里，Zn×的每个生成元被称为模'的原根。
因此，Zn×在'=6时是循环的，但在'=8时则不是，而转而会同构於克莱因四元群。

对於每个质数'，群Zp×为具有'-1个元素的循环群。更一般性地，任一域中的乘法群之有'子群都是循环的。
例子
在二维和三维空间里，'折旋转对称的对称群为''，属Zn抽象群类型。在三维里，亦存在其他代数地相同的对称群，详见三维点群。

需留意的是，圆的所有旋转所组成之群'1(圆群)不是循环的，甚至不是可数的。

'次单位根形成一个关于乘法的'阶循环群。
每一个有限域之有限扩张的伽罗瓦群是有限且循环的；相反地，给定一有限域'和一有限循环群'，则存在一个'的有限域扩张，其伽罗瓦群为'。

表示
有限循环群的环图全是有着其元素在各个角上的'边形。下面环图中的黑角表示是单位元素，而其他的角则为群的其他元素。一个环包括着连接着单位元之元素的接续之次方。

Z1 Z2 Z3 Z4 Z5 Z6 Z7 Z8

子群
所有循环群的子群及商群都是循环的。特别地，Z的子群为mZ的形式，其'm为非负整数。对于不同的 m 'mZ 形式的子群是不同的，且除了当然群('=0)外都同构於Z。Z的子群格同构於以可除性排序之自然数格的对偶。所有Z的商群都是有限的，除了一个当然的例外Z/{0}之外。对每个'的正因数'，群Z/n'Z恰好有一个'目的子群，它由'/'的剩余类所产生。其不存在其他的子群。故其子群格会同构於以可除性排序之'的因数所组成的集合。

其中有一个很特别的：一个循环群是简单的若且唯若其目(元素数目)为质数。

举一个实际的问题，给定一个'目之有限子群'，其生成元为'，并要求求得以某一整数'之''所生成的子群之大小'。这里，'会是能使m'能被'整除之最小正整数。因此其为'/'，其中'为'和'的最大公因数。换句话说，由''产生之子群之指标为'。其理由在数论中被称为指标计算演算法。
自同态
阿贝尔群Z'的自同态环会同构於此阿贝尔群，且使其构成一个环。在此同构之下，数字'会对应於将每个元素映射至其'次乘积之值上之Z'的自同态。此一自同态只有在'和'互质时会是个双射函数，所以Z'的自同构群会同构於群Zn×(见上面)。Z'的自同构群有时会被称为Z'的特徵群，且此一群的建构会直接导致对狄利克雷特徵的定义。

相似地，加法群Z的自同态环会同构於环Z，且其自同构群会同构於环Z的单位群，即{?1, +1} Z2。
另见
三维循环对称群
循环扩张
循环模
同余