Question

这一道 高数 曲线积分 应该怎么做？ 最好能同时给出极坐标和直角坐标下的的解法

Answer 1

设R＞0。
解法一：L分为两段，一段是L1: y＝√(Rx-x^2)，0≤x≤R。另一段是L2：y＝-√(Rx-x^2)，0≤x≤R。
两段曲线上，都有ds＝R/(2√(Rx-x^2))dx。
所以原积分＝2∫(0到R) Rx/(2√(Rx-x^2))dx＝R∫(0到R) x/√(Rx-x^2)dx＝πR^2/2。用换元法x＝R/2+t计算。。

解法二：L的极坐标方程是ρ＝Rcosθ，-π/2≤θ≤π/2。ds＝Rdθ。
积分＝∫(-π/2到π/2) R(cosθ)^2 Rdθ＝πR^2/2。

解法三：L的参数方程是x＝R/2×(1+cost)，y＝R/2×sint，0≤t≤2π。ds＝R/2*dt。
积分＝∫(0到2π) R/2(1+cost)*R/2 dt＝πR^2/2。

追问

我式子都列出来了啊，但是算不出正确结果。。。

谢谢了。。。原来我算的结果一直是对的。。书上写的是其中一部分式子的值而不是原式子的答案。。。