Question

求做一道高数题 计算三重积分∫∫∫cosz2dxdydz,区域是由锥面z=x2+y2及平面z

求做一道高数题
计算三重积分∫∫∫cosz2dxdydz,区域是由锥面z=x2+y2及平面z=2围成的空间区域。

Answer 1

解：∫∫∫<Ω>z^2dxdydz=∫<0,2π>dθ∫<0,1>rdr∫<r,√(2-r^2)>z^2dz (作柱面坐标变换)
=2π∫<0,1>(1/3)((2-r^2)^(3/2)-r^3)rdr
=(2π/3)[∫<0,1>(2-r^2)^(3/2)rdr-∫<0,1>r^4dr]
=(2π/3)[(4√2-1)/5-1/5]
=4(√2-1)/15。