Question

已知复数z满足|z|=1，则|z^3+3z+2i |的最大值为（ ）答案三倍根号三，求过

已知复数z满足|z|=1，则|z^3+3z+2i |的最大值为（ ）答案三倍根号三，求过程

Answer 1

解：分享一种解法。设z=e^(iθ)，则z^3=e^(i3θ)。∴丨z^3+3z+2i丨=丨cos3θ+isin3θ+3cosθ+3isinθ+2i丨。
而，(cos3θ+3cosθ)^2+(sin3θ+3sinθ+2)^2=(cos3θ+3cosθ)^2+(sin3θ+3isinθ)^2+4(sin3θ+3sinθ)+4=14+6cos2θ+4(sin3θ+3sinθ)=20-12(sinθ)^2+24sinθ-16(sinθ)^3，
∴丨z^3+3z+2i丨=[20-12(sinθ)^2+24sinθ-16(sinθ)^3]^(1/2)。
设f(θ)=20-12(sinθ)^2+24sinθ-16(sinθ)^3，对θ求导，得其三个极值点，sinθ=1/2、-1；cosθ=0。
经验证，sinθ=1/2时，f(θ)最大值为27。∴丨z^3+3z+2i丨的最大值为3√3。供参考。