Question

利用极坐标计算二重积分∫∫sin(π√x²+y²)/（x²+y²）dxdy,其中D是圆环闭

利用极坐标计算二重积分∫∫sin(π√x²+y²)/（x²+y²）dxdy,其中D是圆环闭区域:1≤x²+y²≤4;

Answer 1

使用极坐标来计算
令x=rcosθ，y=rsinθ，
x^2+y^2=r^2
则sin√x^2+y^2= sinr，
而π^2≤x^2+y^2≤4π^2，即π^2≤r^2≤4π^2，
所以r的范围是[π,2π]

故原积分
= ∫∫ sinr * r dr dθ
= ∫(上限2π，下限0) dθ * ∫(上限2π，下限π) sinr * r dr
显然 ∫(上限2π，下限0) dθ=2π，
而
∫ sinr * r dr 使用分部积分法
=∫ -r d(cosr)
= -cosr * r + ∫ cosr dr
= -cosr * r + sinr +C (C为常数)
代入上限2π，下限π，
所以
∫(上限2π，下限π) sinr * r dr
= -cos2π *2π +sin2π + cosπ *π -sinπ
= -3π

Answer 2