Question

这个积分怎么求

d是常数.

Answer 1

解：分享一种解法，利用欧拉积分/贝塔函数【B(a,b)】求解。
设x=dt，∴原式=(d³)∫(0,1)t^(3/2)(1-t)^(1/2)dt=(d³)B(5/2,3/2)。
再利用贝塔函数与伽玛函数【Γ(.)】的关系、及Γ(1/2)=√π，有B(5/2,3/2)=Γ(5/2)Γ(3/2)/Γ(5/2+3/2)=π/16，∴原式=πd³/16。
供参考。

追问

请问你这是大几的知识，我现在才大一初学微积分，，，能用那些什么配凑法，换元法，分部积分法讲讲吗

追答

令x=d(sint)^2，则原式=(2d^3)∫(0,π/2)(sint)^4(cost)^2dt。再利用(sint)^2=(1-cos2t)/2、sintcost=(1/2)sin2t，降幂后可得同样的结果.