Question

求sinz在z=π/2处的泰勒展开式。

Answer 1

我们可以将 $\sin z$ 展开成幂级数的形式：

$$\sin z = z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots$$

将 $z=\frac{\pi}{2}$ 代入上式，得到：

$$\sin\frac{\pi}{2} = \frac{\pi}{2} - \frac{(\frac{\pi}{2})^3}{3!} + \frac{(\frac{\pi}{2})^5}{5!} - \frac{(\frac{\pi}{2})^7}{7!} + \cdots$$

计算前几项得到：

$$\sin\frac{\pi}{2} = 1 - \frac{\pi^2}{2\times3!} + \frac{\pi^4}{2^2\times5!} - \frac{\pi^6}{2^3\times7!} + \cdots$$

因此，$\sin z$ 在 $z=\frac{\pi}{2}$ 处的泰勒展开式为：

$$\sin z = 1 - \frac{\pi^2}{2\times3!}(z-\frac{\pi}{2}) + \frac{\pi^4}{2^2\times5!}(z-\frac{\pi}{2})^2 - \frac{\pi^6}{2^3\times7!}(z-\frac{\pi}{2})^3 + \cdots$$

Answer 2

1-(x-pi/2)^2/2!+(x-pi/2)^4/4!+…+(-1)^n(x-pi/2)^2n/(2n)!+o(x^(2n+1))