Question

请好人帮我分析一道基本利用分部积分法解决的关于定积分计算的题！

我主要不明白计算的第一步中“+”号右边是怎么消去原函数f(x)的积分上下限数值的变化以及负号是怎么产生的和(x-1)的平方的出现和负号的关系！“+”号左边我明白是使用分部积分公式得到的，这一项继续计算的结果是比较容易得到！

Answer 1

你知道是用分部积分来做的，那么+号右边是这样:
我们是把∫[x-1,2]e^(y^2)dy作为关于x的函数进行分部积分,
所以原式=你的式子+左边-∫[1,3]x*[∫[x-1,2]e^(y^2)dy]'dx
即被积函数为x*[∫[x-1,2]e^(y^2)dy的导数]
把那个积分写成一般的，变量在上，就是上下限互换，出来一个符号，再令
x-1=t,弄成标准形式，再求导，就为被积函数e^[(x-1)^2],这么说你明白了吗

Answer 2

等号右边是变限积分求导

分部积分：
∫f(x)dx=xf(x)-∫xd[f(x)]....(*)
后面的d[f(x)]=f'(x)dx
而f'(x)=d[∫(x-1,2)e^y²]/dx=-d[∫(2,x-1)e^y²]/dx (交换上下限变成变上限积分)

根据变上限积分求导公式d[∫(a,b(x))f(x)dx]/dx=f(b(x))*[b'(x)]得
f'(x)=-d[∫(2,x-1)e^y²]/dx
=-e^(x-1)²*(x-1)'
=-e^(x-1)²

代回到(*)式，即得
∫(1,3)f(x)dx=xf(x)|(1,3)-∫(1,3)xd[f(x)]
=xf(x)|(1,3)-∫(1,3)[-xe^(x-1)²]dx
=xf(x)|(1,3)+∫(1,3)[xe^(x-1)²]dx

Answer 3

这题我没细想，但这答案觉得很奇怪．第一项积分号还在积分微元没了．怎么看都觉得有问题．按道理说第一项应该没有积分号，因为是分步积分法．有时间我再把这题做一下．