Question

高等数学 中值定理证明题 辅助函数构造

题目如图，以及我做的步骤

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Answer 1

可以逆向来思考这个题目，可以直接构造e^g(x)，这种类型的函数，然后求导，再求积分配凑g(x)使其满足罗尔定理的条件。在解决这种存在一个点的等式中。这种思路是比较普遍的。而这道题目，稍微有点特殊，我认为多多积累和总结就好了。

Answer 2

令F（x）=f'（x）-f（x）＋x

追问

由limx趋于0 f(x)x=1可得，f(0)=0,f’(0)=1.
然后拉格朗日中值定理得存在c属于(0,1),使得f’(c)=[f(1)-f(0)]/(1-0)=1,如果按照您给的辅助函数，F(x)=f’(x)-f(x)+x,则F(0)=1,F(c)没办法得出，就不能再利用罗尔定理算了。
我看答案里的辅助函数是F(x)=e^-x[f’(x)-1] 但不知道怎么构造出来的

追答

哦哦，我手写一下吧