Question

下列无穷积分收敛的是什么？

Answer 1

A积分结果好绝行e^x，无穷友哗大不收敛。
B积分结果-1/x=1，收敛。
C积分结果3/2x^(3/2),无穷大不收敛。
D积分结果xlnx+ ∫(无穷大，1)dx,显然不收敛。
∫(e,1)xlnxdx，令t=lnx，x=e^t，x=e时t=1,x=1时t=0,故换元之后的结果 ∫(1,0)t*e^tde^t,分部积分。

∫(1,0)t*e^2tdt=1/2 ∫(1,0)tde^2t=1/2*t*e^2t-1/2∫(1,0)e^2tdt=1/2*e^2-1/4∫(1,0)de^2t=1/2*e^2-1/4*e^2+1/4
=1/4*e^2+1/4。

定积分概念的推广至积分区间无穷和被积函数在有限区间上为无界的情形成为广义积分，又名反常积分。其中前者称为无穷限广义积分，或称无穷积分；后者宏轿称为无界函数的广义积分，或称瑕积分。

无穷积分

设函数f(x)定义在[a,+∞)上。设f(x)在任意区间[a,A](A>a)上可积，我们称极限

 

为f(x)在[a,+∞)上的无穷积分。记作

类似可定义在[-∞,b]上的无穷积分

设函数f(x)在

 

上连续，如果广义积分

 

和

 

存在，则f(x)在

 

上广义积分定义为：