Question

高数题，极限定义 limx→∞ (x^n+x^2n+1/(2^n)x^3n)^1/2 的分段表达式

高数题，极限定义
limx→∞ (x^n+x^2n+1/(2^n)x^3n)^1/2
的分段表达式如图，各个区间上极限均为几是怎么看出来的？

Answer 1

实际上就是a=x,b=x^2,c=x^3/2
看a^n,b^n,c^n在不同情况中谁是主要项，而其他相对它而是高阶无穷小。
一般对比两个 a^n,b^n ，其中a,b均大于0
若a=b, a^n与b^n同阶 ,若a<b,主要项是b^n, a^n是其高阶无穷小。
a=x,b=x^2,c=x^3/2，三者对比
0<x<1 时 c<a, b<a ，主要项就是 a^n
将主要项提出 其他部分放缩即可
[a^n+b^n+c^n]^(1/n)=a × [1+(b/a)^n+(c/a)^n]^(1/n)
此时 1<1+(b/a)^n+(c/a)^n<1+1+1=3
所以 1< [1+(b/a)^n+(c/a)^n]^(1/n)<3^(1/n)
注意lim3^(1/n)=1 由夹逼原理可知 lim[1+(b/a)^n+(c/a)^n]^(1/n)=1
所以 此时 lim[ [a^n+b^n+c^n]^(1/n)=a=x
其他情况是类似的，均是找到最大项，提出，其余放缩即可。

追问

这里放缩的使用夹逼准则的时候不用取等吗？

Answer 2

简单分析一下即可，详情如图所示