Question

二重积分中，D关于原点对称，被积函数该满足什么条件，积分值为0？

二重积分中，D关于原点对称，被积函数该满足什么条件，积分值为0？被积函数关于x轴为奇函数同时关于y轴为偶函数可以么？
为什么网上写的是关于x,y轴同时奇对称？没想通。

Answer 1

二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数，则：

∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）。

或∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）。

导数和积分互为逆运算：

F'(x)=f(x) ∫ f(x)dx=F(x)+c 既被积函数f(x)一定是F(x)+c的导数。

不大好用代数来解释，但可以理解为：求导数即为求原函数曲线的切线方程，一定是先有原函数，才有它的切线方程，既切线方程必有与之对应的原函数曲线。

Answer 2

二重积分对称性定理：积分区域D关于原点对称，f(x,y)同时为x,y的奇或偶函数，则
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=0（当f关于x,y的奇函数，即f(-x,-y)=-f(x,y)时）
或
∫∫f(x,y)dxdy（在区域D上积分）=2∫∫f(x,y)dxdy（在区域D*上积分，其中区域D*是区域D在x>=0(或y>=0)的部分），（当f关于x,y的偶函数，即f(-x,-y)=f(x,y)时）

Answer 3

注意定积分的性质：如果积分区域关于x=0对称，且被积函数关于x为奇函数，那么积分等于0。对y同理。
回到你的题目：f(x)=y*x是关于x的奇函数，积分区域d关于y轴即x=0对称，所以积分等于0。
至于这个性质的证明，分区间使用换元法即可。

Answer 4

就是两个都奇，没什么好想的啊。