高中数学题求解。
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解:f(x)=e^x-x-2===>f'(x)=e^x-1 , 根据题设,有:
(x-k)(e^x-1)+x+1>0 ,对任意 x>0 恒成立, 设 g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1=xe^x+k(1-e^x)+1 (x>0) ===>g'(x)=e^x(x+1-k)
令g'(X)=0 ===>x=k-1 , g(0)=1 ,g(x)的单调区间为(-无穷,k-1),(减区间)
(k-1,+无穷)(增区间), 所以 g(x)>0(x>0)恒成立===>g(k-1)>0即可
即 (k-1)e^(k-1)+k[1-e^(1-k)]+1>0===>K+1>e^(k-1),k是整数
===>kmax=2.
(x-k)(e^x-1)+x+1>0 ,对任意 x>0 恒成立, 设 g(x)=(x-k)(e^x-1)+x+1=xe^x+k(1-e^x)+1 (x>0) ===>g'(x)=e^x(x+1-k)
令g'(X)=0 ===>x=k-1 , g(0)=1 ,g(x)的单调区间为(-无穷,k-1),(减区间)
(k-1,+无穷)(增区间), 所以 g(x)>0(x>0)恒成立===>g(k-1)>0即可
即 (k-1)e^(k-1)+k[1-e^(1-k)]+1>0===>K+1>e^(k-1),k是整数
===>kmax=2.
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