Question

求高数的解析

求高数的解析第四题

Answer 1

第四题很简单，平面方程3x+4y-z+6=0,平面的法向量n1为（3，-4，-1）
同理，又得到直线的方向向量n2（1，4，1）

过点（1，0，-2）的直线与平面平行，那么直线的方向向量n3必定与n1垂直，同时直线与已知直线也垂直，那么三个向量n1,n2,n3的向量积一定为0
列出行列式｛n1,n2,n3｝,计算结果等于零，然后求出n3，再用对称式方程求出直线。

Answer 2

（3）直线的两平面相交表示法（一般形式）化成点向式，基本方法是在直线上任意求出两个点，然后用直线的两点式方程（与平面解析几何一样）
设两点是（x1，y1，z1），（x2，y2，z2）
则直线方程：
（x-x1）/（x2-x1）=（y-y1）/（y2-y1）=（z-z1）/（z2-z1）
求这些点，当然是越简单越好。
取x=0：
2y-z-6=0
-y+z-1=0
相加：y=7；z=8；得第一点（0,7,8）
取y=0：
x-z-6=0
2x+z-1=0，
相加3x=7，x=7/3，z=x-6=7/3-6=-11/3，得第二点（7/3,0，-11/3）
直线的点向式方程是：
x/（7/3）=（y-7）/（-7）=（z-8）/（-35/3）
分母÷7×3化简：
x/1=（y-7）/（-3）=（z-8）/（-5）
直线的点向式不是唯一的，那个已知点，可以在直线上任意选择一个，方向向量之间，可以差一个不为0的任意实数的倍数。
（4）已知过一点，显然可以用点向式方程。直线平行于平面，必然与平面的法线垂直，
直线垂直于直线，必然与直线的方向向量垂直。与两个向量垂直的向量，可以是这两个向量的叉积。如果学过叉积，可以如此求解。如果没有学过叉积，可以用相互垂直的向量的点积=0
（3,4，-1）与（1,4,1）的叉积：（这是行列式表示的标准格式）
i，j，k
3,4,-1
1,4,1
=(4+4)i+(-1-3)j+(12-4)k
=(8,-4,8)=4（2，-1,2）
其中i，j，k分别为x，y，z轴方向的单位向量。
也可以设直线方向向量为（a，b，c），根据两个点积为0，两个方程，求出方向向量（有参数，不确定，任意取一个即可）
3a+4b-c=0，a+4b+c=0
取c为参数，相减2a=2c，a=c；
b=-（a+c）/4=-2c/4=-c/2
方向向量（c，-c/2，c）=c（1，-1/2,1）=（c/2）（2，-1,2）
可取方向向量（2，-1,2）
点向式
（x-1）/2=y/（-1）=（z+2）/2