Question

设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f(0)=0,f(1)=π/4,则方程(1+x^2)f'(x)=1在(0,1)内至少有一个实

Answer 1

因为f（x）在[0，3]上连续，所以f（x）在[0，2]上连续，且在[0，2]上必有最大值M和最小值m，于是：m≤f（0）≤M，m≤f（1）≤M，m≤f（2）≤M，故：m≤f(0)+f(1)+f(2) 3 ≤M，由介值定理知，至少存在一点c∈[0，2]，使得： f(c)＝f(0)+f(1)+f(2) 3 ＝1，又由：f（c）=1=f（3），且f（x）在[c，3]上连续，在（c，3）内可导，满足罗尔定理的条件，故：必存在ξ∈（c，3）?（0，3），使f′（ξ）=0．