Question

求一个正交矩阵P,使P^-1AP为对角矩阵，其中 A= 第一行4 0 0 第二行0 3 1 第三行

Answer 1

矩阵A的特征值为λ1=λ2=4，λ3=2。

将λ1=λ2=4代入(λ1E-A)X=O，把系数矩阵化成行最简形，过程如图。

x2是阶梯头，因此令x1=t1，x3=t2，求出通解并表示成向量的形式，从而得到特征向量ξ1和ξ2。

同理将λ3=2代入(λ3E-A)X=O中，求出特征向量ξ3=[0，-1，1]T。

待求的矩阵P=[ξ1，ξ2，ξ3]，将特征向量代入即可。

正交矩阵是实数特殊化的酉矩阵，因此总是属于正规矩阵。尽管我们在这里只考虑实数矩阵，但这个定义可用于其元素来自任何域的矩阵。正交矩阵毕竟是从内积自然引出的，所以对于复数的矩阵这导致了归一要求。正交矩阵不一定是实矩阵。

实正交矩阵（即该正交矩阵中所有元都是实数）可以看做是一种特殊的酉矩阵，但也存在一种复正交矩阵，这种复正交矩阵不是酉矩阵。

Answer 2

貌似你的题目没有写完整
矩阵A的具体式子是什么？
实际上就是先求出A的特征值
令|A-λE|=0，解得λ值
再代入求出各个特征向量即可
组合在一起就是矩阵P