Question

数学：求下列微分方程的通解？

求下列微分方程的通解。

Answer 1

1. 令 y' = p， 则 y'' = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = pdp/dy, 则

   pdp/dy = 1+p^2, pdp/(1+p^2) = dy,   (1/2)ln(1+p^2) = y+(1/2)lnC1

   1+p^2 = C1e^(2y),   dy/dx = p = ±√[C1e^(2y)-1],

   dy/√[C1e^(2y)-1] = ±dx

   令 u = √[C1e^(2y)-1]， 则 y = (1/2)ln[(1+u^2)/C1]

   ∫dy/√[C1e^(2y)-1] = ∫du/(1+u^2) = arctanu = arctan√[C1e^(2y)-1]

   于是原微分方程通解为 arctan√[C1e^(2y)-1] = C2 ± x

2. 令 y' = p， 则 y'' = dp/dx = (dp/dy)(dy/dx) = pdp/dy, 则

   y^3pdp/dy = 1,  pdp = dy/y^3,   (1/2)p^2 = -(1/2)y^(-2) + (1/2)C1

   p =  ±√[C1-1/y^2] ,   dy/√(C1-1/y^2) = ±dx,

   ydy/√(C1y^2-1) = ±dx ,   [1/(2C1)]d(C1y^2-1)/√(C1y^2-1) = ±dx,

   通解为 (1/C1)√(C1y^2-1) = C2 ± x 
   

Answer 2

这题可以用带入法，直接将题一上的式子带入二式，在拆开分解

追问

不是，这是两个题啊。

追答

那怎写在一起了

追问

写的可能不太规范，我写的是求下列微分方程的通解，意思是这两个方程的通解。

Answer 3

求下列微分方程的通解：
(1). y''=1+y'²;
解：令y'=P，则y''=dP/dx;代入原方程得：dP/dx=1+P²;
分离变量得：dP/(1+P²)=dx，积分之得：arctanP=x+c；即有P=tan(x+c₁)；
∴y=∫tan(x+c₁)dx=∫tan(x+c₁)d(x+c₁)=-ln[cos(x+c₁)]+c₂;
(2). y³y''-1=0
解：令y'=P；则y''=dp/dx=(dp/dy)(dy/dx)=p(dp/dy)；代入原式得：
yp(dp/dy)-1=0；分离变量得：pdp=dy/y；
积分之得：(1/2)p²=-1/(2y²)+(1/2)c₁； 化简得p²=-1/y²+c₁;
故有：p=dy/dx=√(c₁-1/y²)=[√(c₁y²-1)]/y；
再分离变量得：ydy/√(cy-1)=dx;
积分之得通解：x=∫ydy/√(c₁y²-1)=[1/(2c₁)]∫d(c₁y²-1)/√(c₁y²-1)=(1/c₁)√(c₁y²-1)+c₂;