Question

计算题，。





Answer 1

在等式(k+1)³-k³=3k²+3k+1中
依次取k=1, 2, 3, …, n，得
2³-1³=3·1²+3·1+1，
3³-2³=3·2²+3·2+1，
4³-3³=3·3²+3·3+1，
… … … … ，
(n+1)³-n³=3n²+3n+1，
上面n个等式相加得
(n+1)³-1³
=3(1²+2²+…+n²)+3(1+2+…+n)+n
=3(1²+2²+…+n²)+3n(n+1)/2＋n，
所以
1²+2²+…+n²
=[(n+1)³-1³-3n(n+1)/2-n]/3
=[n³+3n²+3n-(3n²+3n)/2-n]/3
=[2n³+6n²+6n-(3n²+3n)-2n]/6
=[2n³+3n²+n]/6
=n(2n²+3n+1)/6
=n(n+1)(2n+1)/6.