Question

这个极限题怎么判断他的分子是未定式啊

Answer 1

一般而言这样的题目直接洛必达即可
但你要判断分子也是趋于0或者趋于无穷的话
这是一个反常积分，判断收不收敛就行了
具体做法：这里打字不方便，记s ab为积分上下限分别为ab
那么s 1无穷(f(t))dt=lim(x趋于无穷) (s 1x(f(t))dt)
（就是把这个积分式子求出来（含参量x），再求极限）
或者用判别法，详见反常积分

追问

楼上说的积分上限趋于无穷大，积分趋于无穷大

对不对啊。。。

追答

不对！！！

lim(n趋于正无穷)an就一定等于无穷？
这个要考虑an的情况，同理也要考虑积分函数

Answer 2

分享一种解法。应用泰勒展开式，有e^(1/t)=1+1/t+1/(2t²)+1/(6t³)+……。
∴t²[e^(1/t)-1]-t=1/2+1/(6t)+1/(24t²)+……。∴分子积分后是“→∞”的，即是“不定式”。
供参考。

Answer 3

积分上限趋于无穷大，所以积分趋于无穷大

追问

只要积分上限趋于无穷，整个积分就是趋于无穷大的吗

说不通啊，这个也是上限趋于无穷但他的值为1/3啊

追答

这个和那题不一样，这个是变上限积分，它是变上限的函数

追问

具体的区别在哪呢，不都是原函数的变量趋于无穷吗

教材上也是说相等得呀。。。

追答

看中间的图，变上限定积分在几何上表示阴影部分的面积，现在阴影图形的底边长度趋于无穷大，所以曲边梯形的面积也趋于无穷大，即变上限定积分趋于无穷大。