Question

高等数学定积分

Answer 1

1.心中有知识体系

高数定积分主要包括定积分的定义，性质；微积分基本定理；反常积分；定积分的应用。这四个部分各有侧重点。其中定积分的定义是重点；要理解微积分基本定理；要掌握定积分在几何和物理上面的应用。至于反常积分大家了解就行了。

2.熟练掌握知识点

首先是定积分的定义及性质。

要深刻理解定积分的定义。我觉得要一步一步的写出精髓。比如说从定义中体现的思想：微元法。小伙伴们要理解分割，近似，求和，取极限这四个步骤。至于性质，大家关键也在于理解。特别是区间可加性；比较定理；积分中值定理。对这三个性质大家一定要知道是怎么来的。

然后是微积分基本定理。

这个知识点非常重要。因为它定义了一种新的函数：积分上限函数。而且在一定的条件下，它的导数就是f(x)。所以我们扩展了函数类型。那么导数应用中的切线与法线；单调性；极值；凹凸性等应用就可以与积分上限函数联系了。同时提出了牛顿-莱布尼茨公式，使得我们可以用不定积分来计算定积分。希望小伙伴们要掌握牛顿-莱布尼茨公式的证明过程。

第三个要说的是反常积分。

对这一部分，小伙伴们了解基本定义，会用定积分判断是否收敛就够了。最后，是定积分的应用。其实就是微元法在几何以及物理上面的应用。同样的，同学们要知道数学一，数学二，数学三的区别。在几何上，数学三只用掌握用定积分求面积和简单几何体的体积。

而数学一和数学二还要求掌握用定积分求曲线弧长，旋转曲面面积。在物理应用方面，数学一和数学二主要掌握用定积分求变力沿直线做功，抽水做功，液太静压力和质心问题。但核心是，小伙伴们一定要掌握微元法的思想。

3.适量练习

在大家理解了重点知识以及明确了考试重点后就需要做题巩固了。在这里，我坚决反对题海战术。因为大家的时间有限并且题海战术在没理解知识点之前是没用的。现在社会做事情都讲究高效，我希望大家能够事半功倍。

那么针对定积分这章，大家先针对我说的重点知识进行做题巩固，关键是每做一个题就要理解，要反思，要多想想考察了知识点那些方面。然后对次重点知识辅助做一些题，了解就够了。

Answer 2

Answer 3

令x^2=1+4r^2，则2xdx=8rdr，xdx=4rdr
原式=r^5*xdr=r^4*xdx/4，这里r^2=(x^2-1)/4
=(x^2-1)^2/16*xdx/4
=(x^2-1)^2/64*xdx

Answer 4

∫<0,1>r^2√(1+4r^2)dr
=r/6*(1+4r^2)^(3/2)|<0,1>-(1/6)∫<0,1>(1+4r^2)√(1+4r^2)dr
=5√5/6-∫<0,1>[1/6+(2/3)r^2]√(1+4r^2)dr,
所以∫<0,1>r^2√(1+4r^2)dr=（3/5）[5√5/6-(1/6)∫<0,1>√(1+4r^2)dr]
=√5/2-（1/10）(1/2)[r√(1+4r^2)+(1/2)ln(2r+√(1+4r^2)]|<0,1>
=√5/2-（1/20）[√5+（1/2）ln（2+√5）]
=9√5/20-(1/40)ln(2+√5).
仅供参考。

Answer 5