Question

一阶偏导数？

如图

Answer 1

这句话的意思是告诉你：
1、对于一元函数来说，在定义域内是处处可导的；
2、对于二元函数来说，在定义域内是处处可微的。
（对于二元函数来说，所有方向可导，才是可微）
就二元函数，说明如下：
A、原来的函数在某一个方向可以求偏导，
偏导的值是连续的，意味着，
原函数的图形，没有出现断裂、折痕、裂缝、
洞隙、重叠、、、等等问题。
否则，导函数不可能连续。
B、这个连续，不表示下一阶可导。
类似于一元函数：
连续函数不一定可导，既要连续，又要可导才行。
C、如果楼主学过梯度gradient、方向导数directional
derivative，就更好理解了：
梯度是矢量，是沿x方向的导函数作为一个分量，
沿y方向的导函数作为一个分量。
然后矢量合成，两个分量连续变化，就变成了所有
方向的方向导数，也就是可微了。
说明：可导、可微的区别，是中国微积分概念。
不是国际微积分概念。

Answer 2

可导说明则左导等于右导

Answer 3

xz²-yz³+xy=0，z视为x和y的二元函数，方程两边分别对x、y求偏导，得z²+2xz(∂z/∂x)-3yz²(∂z/∂x)+y=0，2xz(∂z/∂y)-z³-3yz²(∂z/∂y)+x=0，分别解得∂z/∂x=(z²+y)/z(3yz-2x)，∂z/∂y=(z³-x)/z(3yz-2x)。dz=(∂z/∂x)dx+(∂z/∂y)dy=[(z²+y)dx+(z³-x)dy]/z(3yz-2x)。