Question

求解一道第一类曲线积分

求解一道第一类曲线积分第七题，要有过程，感谢orz

Answer 1

由对称性，总质量应是第 1 象限质量的 4 倍。
令 x = acost, y = bsint, 则 dx/dt = -asint ， dy/dt = bcost，
ds = √[a^2(sint)^2+b^2(cost)^2]dt
m = 4∫<0, π/2>bsint√[a^2(sint)^2+b^2(cost)^2]dt
= -4b∫<0, π/2>√[a^2(sint)^2+b^2(cost)^2]dcost
= -4b∫<0, π/2>√[a^2-(a^2-b^2)(cost)^2]dcost
= [-4b/√(a^2-b^2)]∫<0, π/2>√[a^2/(a^2-b^2)-(cost)^2]dcost,
令 u = cost
m = [-4b/√(a^2-b^2)]∫<1, 0>√[a^2/(a^2-b^2)-u^2]du
= [4b/√(a^2-b^2)]∫<0, 1>√[a^2/(a^2-b^2)-u^2]du
令 u = [a/√(a^2-b^2)]sinv
m = [4b/√(a^2-b^2)]∫<0, arcsin[√(a^2-b^2)/a]>[a^2/(a^2-b^2)(cosv)^2dv
= [2ba^2/(a^2-b^2)^(3/2)]∫<0, arcsin[√(a^2-b^2)/a]>(1+cos2v)dv
= [2ba^2/(a^2-b^2)^(3/2)] [v+(1/2)sin2v]<0, arcsin[√(a^2-b^2)/a]>
= [2ba^2/(a^2-b^2)^(3/2)] [v+sinvcosv]<0, arcsin[√(a^2-b^2)/a]>
= [2ba^2/(a^2-b^2)^(3/2)] {arcsin[√(a^2-b^2)/a] + [√(a^2-b^2)/a](b/a)}
= [2b/(a^2-b^2)]{[a^2/√(a^2-b^2)]arcsin[√(a^2-b^2)/a]+b}