Question

反三角函数是什么？

Answer 1

三角函数相应的映射是单值映射，对于定义域内每一个值（角），有惟一的值与它对应。反过来，对于三角函数每一个函数值却有无穷多个自变量的值（角）与它对应。就是说，确定三角函数的映射不是一一映射。因此必须限定角的取值范围来构成一一映射。当构成一一映射后，就可以把三角函数的反函数定义为反三角函数了。

反正弦函数：y=sin x在［-π/2,π/2］上的反函数，叫做反正弦函数，记为x=arc sin y;

反余弦函数：y=cosx在［0,π］上的反函数，叫做反余弦函数，记为x=arc cos y;

反正切函数：y=tgx在［-π/2,π/2］上的反函数，叫做反正切函数，记为x=arc tg y;

反余切函数：y=ctgx在［0,π］上的反函数，叫做反余切函数，记为x=arc ctg y.用同样的道理可以定义反正割函数和反余割函数。反正弦函数、反余弦函数、反正切函数、反余切函数、反正割函数和反余割函数都称为反三角函数。

Answer 2

反三角函数是反正弦Arcsin x，反余弦Arccos x，反正切Arctan x，反余切Arccot x这些函数的统称，各自表示其正弦、余弦、正切、余切为x的角。
不过反三角函数不能成为函数，因为它不满足一对一的关系，它是一对多的关系。
可以把三角函数以y=x为对称轴画一下图象，可以发现它不满足一对一的关系。
如果要反三角函数成为函数，应该将反正弦函数的值y限在-π/2≤y≤π/2，将y作为反正弦函数的主值，记为y=arcsin x；相应地，反余弦函数y=arccos x的主值限在0≤y≤π；反正切函数y=arctan x的主值限在-π/2<y<π/2；反余切函数y=arccot x的主值限在0<y<π。
总之反三角函数的值域是角，有了它表示可以更方便。
比如要表示使得sinx=1/3成立的角。这不是特殊角，不过我们可以用反三角函数表示：x=arcsin1/3。
在解三角方程是尤为重要。不过得注意，一般得在解集加上若干个周期。因为反三角函数是一对多的关系。

Answer 3

大家都知道 sin30°=1/2 对不对？
那么 arcsin 1/2 就等于 30°，是不是很简单~？