Question

求曲线y=根号下2x-x^2与x轴所围成的平面区域绕y轴旋转一周而成的旋转体的体积。

Answer 1

由x²-2x=x(x-2)=0,得x₁=0,x₂=2；即直线与抛物线相交于O(0,0)和A(2,4)

曲线y=x²与直线y=2x所围平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V=直线段OA绕x轴旋转形成的圆锥的体积-抛物线段OA绕x轴旋转所形成的侧面为抛物面的旋转体的体积

=(1/3)×π×4²×2-[0,2]∫π(x²)²dx

=(32/3)π-π[(x^5)/5]︱[0,2]

=(32/3)π-(32/5)π

=(64/15)π

单位换算

1立方分米=1000立方厘米=1000000立方毫米=1升=1000毫升=0.061 立方英寸

1立方厘米=1000立方毫米=1毫升=0.000061 立方英寸

1 立方米=1000 立方分米=1000000立方厘米=1000000000立方毫米=0.353 立方英尺=1.3079 立方码

1 立方英寸=0.016387 立方分米=16.387立方厘米=16387立方毫米

1立方英尺=28.3立方分米=28300立方厘米=28300000立方毫米

1 立方码=27 立方英尺=0.7646 立方米=164.6立方分米=164600立方厘米=164600000立方毫米

Answer 2

y=√(2x-x^2)
y^2=2x-x^2
(x-1)^2+y^2 =1
x= 1+√(1-y^2) or 1-√(1-y^2)
let
y=sinu
dy=cosu du
y=0, u=0
y=1, u=π/2
Vy

=π∫(0->1) [ 1+√(1-y^2) ]^2 dy - π∫(0->1) [ 1-√(1-y^2) ]^2 dy
=4π∫(0->1) √(1-y^2) dy
=4π∫(0->π/2) ( cosu)^2 du
=2π∫(0->π/2) (1+ cos2u) du
=2π [u+ (1/2)sin2u]|(0->π/2)
=π^2