Question

（复变函数与积分变换）用留数积分？

第二题和第三题求大佬解答。必定感激不尽。

Answer 1

分享一种解法，应用留数定义和柯西积分定理求解。
(3)，设f(z)=[z³/(1+z)]e^(1/z)。显然，在丨z丨=2内，f(z)有两个一阶极点z1=0，z2=-1。
∴原式=(2πi){Res[f(z),z1]+Res[f(z),z2]}。
对Res[f(z),z1]，利用z³/(1+z)=z³-z^4+z^5-…、e^(1/z)=1+1/z+1/(2z²)+1/[(3!)z³]+…展开，有Res[f(z),z1]=a(-1)=1/e-1/3。Res[f(z),z2]=lim(z→z2)(z-z2)f(z)=-1/e，∴原式=-2πi/3。
(2)，积分区域是不是z=0？若是，其解法可以是，设f(z)=(1-cosz)/[z(e^z-1)]。利用cosz=∑[(-1)^n][(z²)^n]/(2n)!，e^z=∑(z^n)/(n!)，有f(z)=(1/2)(1-z²/12+…)/(1+z/2+…)。显然，z=0非f(z)的极点。∴Res[f(z),0]=0，原式=0。
供参考。

追问

请问这一步怎么来的？

追答

详细过程是，f(z)=z³/(1+z)e^(1/z)=(z³-z^4+z^5-){1+1/z+1/(2z²)+1/[(3!)z³]+…}=…+(1/2!-1/3!+1/4!-…)z+(1/3!-1/4!+1/4!-…)+(1/4!-1/5!+1/5!-…)(1/z)+(1/5!-1/6!+1/6!-…)(1/z²)+…。
而，根据洛朗级数定义，含“1/z”项的系数a(-1)即为其留数，∴Res[f(z),z1]=a(-1)=1/4!-1/5! +1/5!-…。利用e^z的洛朗级数展开式/泰勒展开式，令z=-1，∴1/4!-1/5!+1/5!-…=1/e-1/3。
∴Res[f(z),z1]=1/e-1/3。

追问

懂了，谢谢您！

追答

不客气，有问题再讨论哈。