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分析:
判断数列是否有极限,常用:定义法,柯西收敛法,夹逼,化简法,反身指代法,单调有界法等,本题只能用单调有界法,从而关键是判断{an}的单调性!
证明:
构造函数:
f(x)=x-sinx,其中:x≥0
求导:
f'(x)=1-cosx≥0
∴f(x)在其定义域内是单调递增的
而:
f(0)=0
∴x-sinx≥0
即:
x≥sinx,其中:x≥0
因此:
a(n+1)=sinan<an
∴数列{an}是单调递减的
又:
a(n+1)=sinan<an=sina(n-1)=a(n-1)<...... <a2=sina1<a1
即:
a(n+1) < a1
∴数列{an}有下确界
综上:
数列{an}极限存在
令:lim(n→∞) an =A
于是:
A = sinA
考察函数f(x)=x-sinx,x∈[0,∞)可知:
只有当x=0时,存在:x=sinx=0
因此,上述的三角函数方程的解只能是:
A=0
即:
lim(n→∞) an =0
注:利用归纳法也能求单调性,这里就略了!
判断数列是否有极限,常用:定义法,柯西收敛法,夹逼,化简法,反身指代法,单调有界法等,本题只能用单调有界法,从而关键是判断{an}的单调性!
证明:
构造函数:
f(x)=x-sinx,其中:x≥0
求导:
f'(x)=1-cosx≥0
∴f(x)在其定义域内是单调递增的
而:
f(0)=0
∴x-sinx≥0
即:
x≥sinx,其中:x≥0
因此:
a(n+1)=sinan<an
∴数列{an}是单调递减的
又:
a(n+1)=sinan<an=sina(n-1)=a(n-1)<...... <a2=sina1<a1
即:
a(n+1) < a1
∴数列{an}有下确界
综上:
数列{an}极限存在
令:lim(n→∞) an =A
于是:
A = sinA
考察函数f(x)=x-sinx,x∈[0,∞)可知:
只有当x=0时,存在:x=sinx=0
因此,上述的三角函数方程的解只能是:
A=0
即:
lim(n→∞) an =0
注:利用归纳法也能求单调性,这里就略了!
上海华然企业咨询
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2020-02-15 · 知道合伙人教育行家
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0<a《n+1》=sin(a《n》)<a《n》
{a《n》}递减有界,极限存在
求极限困难
{a《n》}递减有界,极限存在
求极限困难
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追问
那你就是不会做!
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给你做了前 半问题,不满意别理会,何故抱怨?
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因为求极限部分,分母是2次方,分子是1次方
追问
大哥 你瞎回答啥呢?
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待会给你解答。
追问
谢谢 等你
怎么做呢
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