Question

【在线等】菜鸟跪求一简单数学问题.谢谢各前辈!谢谢!

设x,y∈R,向量i和向量j分别为直角坐标系平面内x,y轴正方向上的单位向量,若向量a=x*向量i+(y+2)*向量j,向量b=x*向量i+(y-2)*向量j.且向量a的模加向量b的模=8.
(1)求点M(x,y)的轨迹C的方程;
(2)过点(0,3)作直线l与曲线C交于A,B两点,设向量OP=向量OA+向量OB,是否存在这样的直线l,使得四边形OAPB是矩形?若存在,求出直线l的方程,若不存在,试说明理由.

我完全不知道怎么做,请各位高手帮帮忙.谢谢!

Answer 1

这道题蛮难的，涉及的知识点很多。

(1)解：∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8
∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8
∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为
(x^2)/12+(y^2)/16=1

(2)解：过y轴上的点(0，3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点
∴ 向量OP=向量OA+向量OB=0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在，
设l方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B (x2，y2)
由方程组:
y=kx+3
(x^2)/12+(y^2)/16=1

得：(4+3k^2)x^2+18kx-21=0
此时,△=(18k)^2-4(4+3k^2)(-21)>0恒成立，

且x1+x2=-18k/(4+3k^2),x1x2=-21/(4+3k^2)

∵向量OP=向量OA+向量OB
∴四边形OAPB是平行四边形

若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，
即向量OA•向量OB=0
∴向量OA•向量OB=x1x2+y1y2=0

即(1+k^2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0
(1+k^2)[-21/(4+3k^2)]+3k×[-18k/(4+3k^2)]+9=0
解得：k=±√ 5/4
所以存在直线l：y=±√ 5/4 x+3,使得四边形OAPB是矩形．

Answer 2

1)解：∵a＝xi＋(y＋2)j，b＝xi＋(y－2)j ，且| a |＋| b |＝8
∴点M(x，y)到两个定点F1(0，－2)，F2(0，2)的距离之和为8
∴轨迹C为以F1，F2为焦点的椭圆，方程为
(x^2)/12+(y^2)/16=1
(2)解：过y轴上的点(0，3)，若直线l是y轴，则A、B两点是椭圆的顶点
∴ 向量OP=向量OA+向量OB=0，
∴P与O重合，与四边形OAPB是矩形矛盾．
∴直线l的斜率存在，
设l方程为y＝kx＋3，A(x1，y1)，B (x2，y2)
由方程组:
y=kx+3
(x^2)/12+(y^2)/16=1
得：(4+3k^2)x^2+18kx-21=0
此时,△=(18k)^2-4(4+3k^2)(-21)>0恒成立，
且x1+x2=-18k/(4+3k^2),x1x2=-21/(4+3k^2)
∵向量OP=向量OA+向量OB
∴四边形OAPB是平行四边形
若存在直线l，使得四边形OAPB是矩形，则OA⊥OB，
即向量OA•向量OB=0
∴向量OA•向量OB=x1x2+y1y2=0
即(1+k^2)x1x2+3k(x1+x2)+9=0
(1+k^2)[-21/(4+3k^2)]+3k×[-18k/(4+3k^2)]+9=0
解得：k=±√ 5/4
所以存在直线l：y=±√ 5/4 x+3,使得四边形OAPB是矩形．

Answer 3

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