Question

如图，正方形ABCD中，E、F分别是AD、DC上的点，且∠EBF=45°，求证：AE+FC=EF

Answer 1

延长DC 到G，使CG=AE，连接BG
易证△ABE≌△CBG
∴∠CBG=∠ABE，BG=BE
∴∠ABE+∠FBC=90度-∠BAF=45度=∠FBC+∠CBG=∠FBG
又∵BG=BE，BF=BF
∴△BEF≌△BFG
∴EF=FG
∴AE+FC=EF

Answer 2

延长DC 到G，使CG=AE，连接BG
易证△ABE≌△CBG
∴∠CBG=∠ABE，BG=BE
∴∠ABE+∠FBC=90度-∠BAF=45度=∠FBC+∠CBG=∠FBG
又∵BG=BE，BF=BF
∴△BEF≌△BFG
∴EF=FG
∴AE+FC=EF

Answer 3

延长DC 到G，使CG=AE，连接BG
易证△ABE≌△CBG
∴∠CBG=∠ABE，BG=BE
∴∠ABE+∠FBC=90度-∠BAF=45度=∠FBC+∠CBG=∠FBG
又∵BG=BE，BF=BF
∴△BEF≌△BFG
∴EF=FG
∴AE+FC=EF

Answer 4

延长DA到点G，使得AG=FC因为AB=BC,AG=FC,∠GAB=∠C所以△GAB≌△FCB所以∠GBA=∠FBC,GB=FB因为∠EBF=45°所以∠ABE+∠FBC=45°所以∠ABE+∠GBA=45°即∠GBE=∠EBF=45°所以△GBE≌△FBE所以GE=EF而GE=GA+AE=FC+AE所以AE+FC=EF