Question

一道导数的题目

Answer 1

设切点坐标(m,m^3-m)
∵f'(x)=3x^2-1
∴切线的斜率为3m^2-1
切线方程为y-(m^3-m)=(3m^2-1)(x-m)
∵点(1,b)在切线上
∴b-(m^3-m)=(3m^2-1)(1-m)
整理得2m^3-3m^2+b+1=0
要存在3条切线，上面的方程有3个解。
设g(m)=2m^3-3m^2+b+1
g'(m)=6m^2-6m
令其为0，解得m=0或m=1
所以g(m)在m=0出取得极大值，在m=1取得极小值。
2m^3-3m^2+b+1=0要有三个解，则要g(m)与x轴有3个交点。
结合草图，
g(0)>0,g(1)<0
解得-1<b<0