Question

一道多元函数微分应用的题？

Answer 1

分析，本题比较有意思，可以用很多方法
解：
根据平面法线式方程：
xcosα+ycosβ+zcosγ=d

其中，cosα、cosβ、cosγ是该平面法矢量的方向余弦，即：cos²α+cos²β+cos²γ=1
d是原点到(a,b,c)的距离，即：d=√(a²+b²+c²)
该平面到xoy平面的投影，D：xcosα+ycosβ=d
所求四面积的体积V：
V=∫∫∫(Ω) dxdydz，其中：Ω是该四面积在第一卦限所围成的区域
∴
V=∫∫(D)dxdy ∫(0,(d-xcosα-ycosβ)/cosγ) dz
=∫(0,(d/cosα)dx∫(0,(d-xcosα/cosβ)) (d-xcosα-ycosβ)/cosγ dy
=∫(0,(d/cosα) [(d-xcosα)²/2cosβcosγ]dx
=d³/6cosαcosβcosγ
又∵
cos²α+cos²β+cos²γ=1
∴
cosαcosβcosγ ≤ [(cos²α+cos²β+cos²γ)/3]^(3/2) =(1/√3)³
当且仅当：cosα=cosβ=cosγ等号成立
因此：
V=∫∫∫(Ω) dxdydz
=d³/6cosαcosβcosγ

≥d³/(1/√3)³
=(d/√3)³
=[(a²+b²+c²)/3]·√[(a²+b²+c²)/3]

追问

追答

不好意思，我仔细看了一下，发现我犯了一个非常低级的错误，原因：

xcosα+ycosβ+zcosγ=d，其中，d是原点到该平面的距离，而我列成了原点到（a,b,c）的距离

仔细审题后，本题应该用拉格朗日乘数法最简单，重新解答如下：

令该平面的截距式平面方程为：

x/A +y/B +z/C = 1

带入(a,b,c)，则：

a/A +b/B +c/C = 1

该四面体是顶角互相垂直的四面体，因此其体积：

V=ABC/6

构造拉格朗日函数：

L(A,B,C)=ABC/6 + λ(a/A +b/B +c/C -1)，其中λ≠0，于是：

L'A=BC/6 - λa/A²=0

L'B=AC/6 - λb/B²=0

L'C=AB/6 - λc/C²=0

∴

6λa=A²BC

6λb=B²AC

6λc=C²AB

∴

a/b=A/B，b/c=B/C，a/c=A/C

∴a/A=b/B=c/C

上式带入：a/A+b/B+c/C=1,则：

a/A=b/B=c/C=1/3

A=3a，B=3b，C=3c

该点是唯一驻点，既是所求点，因此：

V(min)=9abc/2

追问

还想问一下您，您这个用什么把这些阿尔法、贝塔这种数学符号打出来的？

追答

啥玩意儿？α，β，γ算什么，我还能打ξ，δ，ε呢，还有很多呢

Answer 2

找作业帮APP试试呢，拍个照，智能搜索，好多题目都能找到哦