一道多元函数微分应用的题?
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分析,本题比较有意思,可以用很多方法
解:
根据平面法线式方程:
xcosα+ycosβ+zcosγ=d
其中,cosα、cosβ、cosγ是该平面法矢量的方向余弦,即:cos²α+cos²β+cos²γ=1
d是原点到(a,b,c)的距离,即:d=√(a²+b²+c²)
该平面到xoy平面的投影,D:xcosα+ycosβ=d
所求四面积的体积V:
V=∫∫∫(Ω) dxdydz,其中:Ω是该四面积在第一卦限所围成的区域
∴
V=∫∫(D)dxdy ∫(0,(d-xcosα-ycosβ)/cosγ) dz
=∫(0,(d/cosα)dx∫(0,(d-xcosα/cosβ)) (d-xcosα-ycosβ)/cosγ dy
=∫(0,(d/cosα) [(d-xcosα)²/2cosβcosγ]dx
=d³/6cosαcosβcosγ
又∵
cos²α+cos²β+cos²γ=1
∴
cosαcosβcosγ ≤ [(cos²α+cos²β+cos²γ)/3]^(3/2) =(1/√3)³
当且仅当:cosα=cosβ=cosγ等号成立
因此:
V=∫∫∫(Ω) dxdydz
=d³/6cosαcosβcosγ
≥d³/(1/√3)³
=(d/√3)³
=[(a²+b²+c²)/3]·√[(a²+b²+c²)/3]
解:
根据平面法线式方程:
xcosα+ycosβ+zcosγ=d
其中,cosα、cosβ、cosγ是该平面法矢量的方向余弦,即:cos²α+cos²β+cos²γ=1
d是原点到(a,b,c)的距离,即:d=√(a²+b²+c²)
该平面到xoy平面的投影,D:xcosα+ycosβ=d
所求四面积的体积V:
V=∫∫∫(Ω) dxdydz,其中:Ω是该四面积在第一卦限所围成的区域
∴
V=∫∫(D)dxdy ∫(0,(d-xcosα-ycosβ)/cosγ) dz
=∫(0,(d/cosα)dx∫(0,(d-xcosα/cosβ)) (d-xcosα-ycosβ)/cosγ dy
=∫(0,(d/cosα) [(d-xcosα)²/2cosβcosγ]dx
=d³/6cosαcosβcosγ
又∵
cos²α+cos²β+cos²γ=1
∴
cosαcosβcosγ ≤ [(cos²α+cos²β+cos²γ)/3]^(3/2) =(1/√3)³
当且仅当:cosα=cosβ=cosγ等号成立
因此:
V=∫∫∫(Ω) dxdydz
=d³/6cosαcosβcosγ
≥d³/(1/√3)³
=(d/√3)³
=[(a²+b²+c²)/3]·√[(a²+b²+c²)/3]
更多追问追答
追答
不好意思,我仔细看了一下,发现我犯了一个非常低级的错误,原因:
xcosα+ycosβ+zcosγ=d,其中,d是原点到该平面的距离,而我列成了原点到(a,b,c)的距离
仔细审题后,本题应该用拉格朗日乘数法最简单,重新解答如下:
令该平面的截距式平面方程为:
x/A +y/B +z/C = 1
带入(a,b,c),则:
a/A +b/B +c/C = 1
该四面体是顶角互相垂直的四面体,因此其体积:
V=ABC/6
构造拉格朗日函数:
L(A,B,C)=ABC/6 + λ(a/A +b/B +c/C -1),其中λ≠0,于是:
L'A=BC/6 - λa/A²=0
L'B=AC/6 - λb/B²=0
L'C=AB/6 - λc/C²=0
∴
6λa=A²BC
6λb=B²AC
6λc=C²AB
∴
a/b=A/B,b/c=B/C,a/c=A/C
∴a/A=b/B=c/C
上式带入:a/A+b/B+c/C=1,则:
a/A=b/B=c/C=1/3
A=3a,B=3b,C=3c
该点是唯一驻点,既是所求点,因此:
V(min)=9abc/2
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