一道多元函数微分应用的题?

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vdakulav
2020-05-16 · TA获得超过1.5万个赞
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分析,本题比较有意思,可以用很多方法
解:
根据平面法线式方程:
xcosα+ycosβ+zcosγ=d

其中,cosα、cosβ、cosγ是该平面法矢量的方向余弦,即:cos²α+cos²β+cos²γ=1
d是原点到(a,b,c)的距离,即:d=√(a²+b²+c²)
该平面到xoy平面的投影,D:xcosα+ycosβ=d
所求四面积的体积V:
V=∫∫∫(Ω) dxdydz,其中:Ω是该四面积在第一卦限所围成的区域

V=∫∫(D)dxdy ∫(0,(d-xcosα-ycosβ)/cosγ) dz
=∫(0,(d/cosα)dx∫(0,(d-xcosα/cosβ)) (d-xcosα-ycosβ)/cosγ dy
=∫(0,(d/cosα) [(d-xcosα)²/2cosβcosγ]dx
=d³/6cosαcosβcosγ
又∵
cos²α+cos²β+cos²γ=1

cosαcosβcosγ ≤ [(cos²α+cos²β+cos²γ)/3]^(3/2) =(1/√3)³
当且仅当:cosα=cosβ=cosγ等号成立
因此:
V=∫∫∫(Ω) dxdydz
=d³/6cosαcosβcosγ

≥d³/(1/√3)³
=(d/√3)³
=[(a²+b²+c²)/3]·√[(a²+b²+c²)/3]
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追问

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不好意思,我仔细看了一下,发现我犯了一个非常低级的错误,原因:

xcosα+ycosβ+zcosγ=d,其中,d是原点到该平面的距离,而我列成了原点到(a,b,c)的距离

仔细审题后,本题应该用拉格朗日乘数法最简单,重新解答如下:

令该平面的截距式平面方程为:

x/A +y/B +z/C = 1

带入(a,b,c),则:

a/A +b/B +c/C = 1

该四面体是顶角互相垂直的四面体,因此其体积:

V=ABC/6

构造拉格朗日函数:

L(A,B,C)=ABC/6 + λ(a/A +b/B +c/C -1),其中λ≠0,于是:

L'A=BC/6 - λa/A²=0

L'B=AC/6 - λb/B²=0

L'C=AB/6 - λc/C²=0

6λa=A²BC

6λb=B²AC

6λc=C²AB

a/b=A/B,b/c=B/C,a/c=A/C

∴a/A=b/B=c/C

上式带入:a/A+b/B+c/C=1,则:

a/A=b/B=c/C=1/3

A=3a,B=3b,C=3c

该点是唯一驻点,既是所求点,因此:

V(min)=9abc/2

Sievers分析仪
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餹餹DE帼镀
2020-05-15
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