Question

数学数列错位相减法公式

Answer 1

错位相减法是一种常用的数列求和方法，应用于等比数列与等差数列相乘的形式。
形如An=BnCn，其中Bn为等差数列，Cn为等比数列；分别列出Sn，再把所有式子同时乘以等比数列的公比，即kSn；然后错一位，两式相减即可。　　
　　例如，求和Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)（x≠0）
　　当x=1时，Sn=1+3+5+…+(2n-1)＝n^2；
　　当x不等于1时，Sn=1+3x+5x^2+7x^3+…+(2n-1)*x^(n-1)；
　　∴xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x^4+…+(2n-1)*x^n；
　　两式相减得(1-x)Sn=1+2x[1+x+x^2;+x^3;+…+x^(n-2)]-(2n-1)*x^n；
　　化简得Sn=(2n-1)*x^(n+1)-(2n+1)*x^n+(1+x)/(1-x)^2
　　Sn=
1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn=
1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意跟原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n
　　错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
　　S=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan
（1）
　　在（1）的左右两边同时乘上a。
得到等式（2）如下：
　　aS=
a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
（2）
　　用（1）—（2），得到等式（3）如下：
　　（1-a）S=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1
（3）
　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　S=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
　　（1-a）S=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到S的通用公式了。
　　例子:求和Sn=3x+5x^2;+7x^3;+……..+(2n-1)·x的n-1次方（x不等于0）
　　解：当x=1时，Sn=1+3+5+…..+(2n－1)＝n^2;;
　　当x不等于1时，Sn=3x+5x^2;+7x^3;;+……..+(2n-1)·x的n-1次方
　　所以xSn=x+3x^2;+5x^3;+7x四次方……..+(2n-1)·x的n次方
　　所以两式相减的（1－x）Sn=1+2x(1+x+x^2;;＋x^3;;＋...+x的n-2次方)－（2n-1）·x的n次方。
　　化简得：Sn=(2n-1)·x地n+1次方
－（2n+1）·x的n次方＋（1＋x）/(1-x)平方
　　Cn=(2n+1)*2^n
　　Sn=3*2+5*4+7*8+...+(2n+1)*2^n
　　2Sn=
3*4+5*8+7*16+...+(2n-1)*2^n+(2n+1)*2^(n+1)
　　两式相减得
　　-Sn=6+2*4+2*8+2*16+...+2*2^n-(2n+1)*2^(n+1)
　　=6+2*(4+8+16+...+2^n)-(2n+1)*2^(n+1)
　　=6+2^(n+2)-8-(2n+1)*2^(n+1)
(等比数列求和)
　　=(1-2n)*2^(n+1)-2
　　所以Sn=(2n-1)*2^(n+1)+2
　　错位相减法
　　这个在求等比数列求和公式时就用了
　　Sn=
1/2+1/4+1/8+....+1/2^n
　　两边同时乘以1/2
　　1/2Sn=
1/4+1/8+....+1/2^n+1/2^(n+1)(注意根原式的位置的不同，这样写看的更清楚些）
　　两式相减
　　1/2Sn=1/2-1/2^(n+1)
　　Sn=1-1/2^n

Answer 2

只想说一句，错位相减法是为了把一种同时具有等差数列和等比数列的部分性质的，一个数列，处理后变成一个自己可以解决的等比数列求和。等你学了导数，这部分就会变得简单很多，可以直接看成是某个等比数列的导数。例如：y=x+2x^2+3x^3+-------nx^n.暂时不考虑x=1和0的情况。你可以两边都乘以x通过做差来解决。也可以用求原函数的方法。上式的y=x*（1+2x+3x^2+--------nx^(n-1)）=x*(x+x^2+------x^n)'（注意右上角‘是求导的符号）括号里的等比数列是可以求和的，求导也应该差不多。那结果就出来了，以后你会主要用这种方法。

Answer 3

错位相减法是求和的一种解题方法。在题目的类型中：一般是a前面的系数和a的指数是相等的情况下才可以用。
　　这是例子（格式问题，在a后面的数字和n都是指数形式）：
　　s=a+2a2+3a3+……+(n-2)an-2+(n-1)an-1+nan
（1）
　　在（1）的左右两边同时乘上a。
得到等式（2）如下：
　　as=
a2+2a3+3a4+……+(n-2)an-1+(n-1)an+nan+1
（2）
　　用（1）—（2），得到等式（3）如下：
　　（1-a）s=a+(2-1)a2+(3-2)a3+……+(n-n+1)an-nan+1
（3）
　　（1-a）s=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　s=a+a2+a3+……+an-1+an用这个的求和公式。
　　（1-a）s=a+a2+a3+……+an-1+an-nan+1
　　最后在等式两边同时除以（1-a）,就可以得到s的通用公式了。