Question

设A,B都是m×n矩阵，证明A，B等价的充要条件是r(A)=r(B)

Answer 1

解答：证明：
（必要性）设a与b等价，则b可以看成是a经过有限次初等变换得到的矩阵，而
初等变换不改变矩阵的秩，所以r（a）=r（b）．
（充分性）设r（a）=r（b），则a、b的标准型都为
er
o
o
o
即a、b都与
er
o
o
o
等价，从而a与b等价．

Answer 2

证明:
必要性:
因为A,B等价,
即A可经初等变换化为B,
而初等变换不改变矩阵的秩,
所以r(A)
=
r(B).
充分性:
由r(A)=r(B)
知
A与B有相同的等价标准形
(即左上角是r阶单位矩阵),
即A,B都与同一个标准形等价.
由等价关系的传递性知A与B等价
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