Question

高三数学高手来？

模拟题目

Answer 1

设内心为I,连接IF1,IP
根据平面几何的知识可知∠F1IP=90°+1/2*∠F1QP
而根据对称性可知QF1=QF2
所以∠F1F2P=1/2*(180°-F1QP)=90°-1/2*∠F1QP
所以∠F1IP+∠F1F2P=90°+1/2*∠F1QP+90°-1/2*∠F1QP=180°
所以F1IPF2四点共圆,或者说P在△F1IF2的外接圆上
又因为△F1IF2的外接圆中,F1F2是直径,P在圆上,所以∠F1PF2=90°
PF1⊥PF2,而PF1⊥渐近线,所以PF2∥渐近线

那麼tan∠PF2F1=b/a=PF1/PF2
而在Rt△PF1F2中,斜边F1F2=2c,所以可以得到PF1=2b,PF2=2a
根据双曲线的定义,PF1-PF2=2b-2a=2a,所以b=2a,c=√5a
所以e=c/a=√5