Question

如下图，在△ABC中，点O是AC边上的一动点，过点O作直线MN//BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角

Answer 1

解（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
又已知CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF═∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．

Answer 2

（1）将BC延长到G，因为MN//BC，所以EF//BC，所以∠ECB=∠CEF,∠EFC=∠FCG…{1式}又因为EC,FC分别为∠ACB和∠ACG的
平分线
，所以∠ECB=∠ECA,∠ACF=∠FCG,结合1式可得∠CEF=∠ECA,∠ACF=∠EFC,可得OE=OC,OC=OF,所以OC=1/2EF.
(2)当O点为AC中点时，四边形AECF为矩形
四边形AECF的对角线为AC、EF，若O为AC中点，则可得OC=OA=1/2AC，由（1）知OC=1/2EF,所以AC=EF,也可得三角形OAE
全等于
三角形OCF,三角形OEC全等于三角形OAF,所以AE//CF,AF//EC,即四边形AECF为
平行四边形
，又CE、CF分别为∠ACB和∠ACG的
角平分线
，所以∠ECF=90度，因此，平行四边形AECF为矩形。得证。

Answer 3

∵ce平分∠acb
∴∠ace=∠bce
∵mn‖bc
∴∠bce=∠oec
∴∠oec=∠oce
∴oe=oc
同理：of=oc
∴oe=of
（2）当o为ac中点是四边形aecf为矩形
证明：∵oa=oc，oe=of
∴四边形aecf是平行四边形
∵oe=oc=of
∴∠ecf=90°
∴四边形aecf是矩形
别嫌我懒，这题我也做过。不过有现成不错的解答，我就不动笔了。还请你见谅。