Question

证明方程X^n+X^n-1+....+X^2+X=1在（0,1）内必有唯一实根Xn,并求limXn在n趋向于无穷时的极限（n=2,3,4....

Answer 1

综述：

令f(x)=X^n+X^n-1+....+X^2+X-1,则f(0)=-1<0,f(1)=n-1>=2-1=1，显然f(x)是单增函数，所以在（0,1）内必有唯一实根Xn，左边有，我们说看到Xn是关于n单减的。

下面用反证法证明：如若不然，则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk，有 1 = (Xk+1)^(k+1) +(Xk+1)^(k)+ ... +Xk+1 >= (Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+ ... +Xk =(Xk+1)^(k+1)+1>1，得到了1>1矛盾。

所以Xn单减，而有下界是显然的，所以Xn收敛，设Xn→x对于左边用等比数列求和有  Xn(1 -(Xn)^n)/(1-Xn)=1n→∞有 x/(1-x)=1，解得x=1/2，所以Xn→1/2。

在数学里的范畴论中，极限的概念融贯了多种构造，包括和、积等等;范畴论中许多泛性质也可从极限来理解。

数列极限标准定义：对数列{xn}，若存在常数a，对于任意ε>0，总存在正整数N，使得当n>N时，|xn-a|<ε成立，那么称a是数列{xn}的极限。

函数极限标准定义：设函数f(x),|x|大于某一正数时有定义，若存在常数A，对于任意ε>0，总存在正整数X，使得当x>X时，|f(x)-A|<ε成立，那么称A是函数f(x)在无穷大处的极限。

Answer 2

令f(x)=X^n+X^n-1+....+X^2+X-1,
则f(0)=-1<0,f(1)=n-1>=2-1=1
显然f(x)是单增函数，所以在（0,1）内必有唯一实根Xn
左边有
我们说看到Xn是关于n单减的，下面用反证法证明：
如若不然，则存在k>=2,使 Xk+1>=Xk
有 1 = (Xk+1)^(k+1) + (Xk+1)^(k)+ ... +Xk+1 >= (Xk+1)^(k+1)+(Xk)^(k)+ ... +Xk =(Xk+1)^(k+1)+1>1
得到了1>1矛盾。

所以Xn单减，而有下界是显然的，所以Xn收敛，设Xn→x

对于左边用等比数列求和有 Xn(1 - (Xn)^n)/(1-Xn)=1
n→∞有 x/(1-x)=1
解得x=1/2
所以Xn→1/2