Question

已知二次函数f（x）的二次项为a，且不等式f（x）>-2x的解集(1,3),

Answer 1

1.
(1)令f(x)=ax^2+bx+c
因不等式f(x)＞-2x的解集为(1,3)，知a<0
且对于方程ax^2+(b+2)x+c=0
由根与系数的关系有
x1+x2=-(b+2)/a=4
x1x2=c/a=3
由方程f(x)+6a=0有两个相等的实数根
则△=b^2-4ac=b^2-4a(6a+c)=0
将b=-(4a+2),c=3a代入，得
(2a+1)^2-9a^2=0
即(5a+1)(1-a)=0
解得a=1（舍去）,a=-1/5
所以
a=-1/5,b=-6/5,c=-3/5
则f(x)的解析式为f(x)=-1/5x^2-6/5x-3/5
(2)因a<0,且b=-(4a+2),c=3a
则
f(x)=ax^2+bx+c=ax^2-(4a+2)x+3a
要使f(x)的最大值为正数，则只需
△=(4a+2)^2-4*a*(3a)>0
即a^2+4a+1>0
解得
a<-2-√3或a>-2+√3
所以
a的取值范围是(-∞,-2-√3)∪(-2+√3,0)