Question

高中数学基本不等式

Answer 1

设sin2x=t，则0<t<1
y=2t^2+1/2t+1/2t
利用均值不等式，则y>=3(3次根号下(2t^2*1/2t*1/2t)=3（3次根号下1/2）
当且仅当2t^2=1/2t=1/2t，即t=3次根号下1/4（这个数在0~1的范围内）时取得最小值
t就是正弦值啊，就是写sin2x太费劲了，用一个字母来写了。
还有你的式子里面是说2sin2x^2+1整个做为分子么？
如果是那样的话，应该如下计算：设sin2x=t
y=(2t^2+1)/t
=2t+1/t
>=2根号下(2t*1/t)=2根号2
当且仅当2t=1/t,t=1/根号2时，即2x=45度，或135度，即x=22.5度或67.5度时y有最小值。仍然是利用的均值不等式。

Answer 2

运用基本不等式需要具备三个条件：正数，有定值，等号能取到。
即：一正二定三等。
1/a
+
4/b
>=
2*√(4/ab），这个不等式中1/a
+
4/b与4/ab都不是定值，
所以用来求最值是不行的。
【正解】
y=1/a
+
4/b=(1/a
+
4/b)*1
=(1/a
+
4/b)*
[(a+b)/2]
=1/2*[1+b/a+4a/b+4]
=1/2*[b/a+4a/b+5]
≥1/2*[2√(b/a*4a/b)+5]……注意这里b/a*4a/b是定值4.条件具备。
=9/2,
b/a=4a/b时取到等号，a=2/3,b=4/3.

Answer 3

由于cos²x+sin²x=1
恒成立，故有
y=(2cos²x+2sin²x)/sin2x=2（cos²x+sin²x）/sin2x=2/sin2x
0<x<π/2，则0<2x<π，于是sin2x有：0<sin2x=<1,
由于sin2x>0,sin2x越大，2/sin2x越小，
故但sin2x取1时，y最小，即最小值为2