Question

实变函数与泛函分析基础题目：设f(x),g(x)是定义在E上的函数,证明:

Answer 1

设 x∈左边，则 |f(x)+g(x)|>2e，假设 x∉右边， 则 |f(x)|<e |g(x)|<e 因此 |f(x)+g(x)|≤|f(x)|+|g(x)|<2e 矛盾。

因此假设不成立，即有x∈右边，因此 左边包含于右边 （因为对于任意x∈左边，能推出x∈右边，根据包含于的定义，即左边包含于右边）。

简介

实变函数论是以实变函数作为研究对象的数学分支，是数学分析的深入与推广，研究函数的表示与逼近问题以及它们的局部与整体性质。在经典分析中主要研究具有一定阶光滑性的函数。但在 19 世纪下半叶，一些问题被明确提出，期望能解答并涉及更宽泛的函数类。

问题

在这些问题中必须提到的有集合的测度，曲线长度与曲面面积，原函数与积分，积分与微分的关系，级数的逐项积分与微分，由极限过程得到的函数的性质等。

这些问题的解决对数学发展至关重要，但又非经典分析所能。直至 19 世纪末 20 世纪初，在集合论的基础上，这些问题才得以解决，同时也完成了现代实变函数论基础的建立。

Answer 2

这个不是非常显然的吗，直接证明就行了
记A={x:f(x)>g(x)},
B_n={x:f(x)>=g(x)+1/n}
对任何n都有B_n包含于A，所以其并集也包含于A
反过来任取x属于A，当n>=1/[f(x)-g(x)]>0时f(x)>=g(x)+1/n，即x属于B_n，也就属于所有B_n的并