Question

已知如图AF平分角BAC,BC垂直于AF,垂足为E,点d于点a关于点e对称，pb分别与线段cf.a

Answer 1

（1）因为AF垂直BC，且平分角BAC
所以△BAC为等腰三角形
所以AB=AC
又因为
点D与点A关于点E对称，且平分角AD垂直BC
所以AC=CD
综上，AB=CD
（2）角F=角MCD
由（1）可知，四边形ABDC为菱形，角BAD=角CDA，
角CDA=角MCD+角CMD
……
①
AM为BC的中垂线
则角AMB=角AMC，且角AMB=角PMF
所以角AMC=角PMF
所以角BPC=角AMC+角F
……
②
又因为角BAC=2角MPC，角BAD=角CDA
所以角BAD=角MPC
所以角CDA=角MPC
联立①②
得角F=角MCD

Answer 2

已知：如图，
af平分∠bac，bc⊥af，
垂足为e，点d与点a关于点e对称，pb分别与线段cf，
af相交于p，m．
（1）求证：ab=cd；
（2）若∠bac=2∠mpc，请你判断∠f与∠mcd的数量关系，并说明理由．
解：（1）证明：∵af平分∠bac，
∴∠cad=∠dab=1/2∠bac．
∵d与a关于e对称，∴e为ad中点．
∵bc⊥ad，∴bc为ad的中垂线，∴ac=cd．
在rt△ace和rt△abe中，注：证全等也可得到ac=cd
∠cad
∠ace=∠dab
∠abe=90°，
∠cad=∠dab．
∴∠ace=∠abe，∴ac=ab．
注：证全等也可得到ac=ab
∴ab=cd．
（2）∵∠bac=2∠mpc，
又∵∠bac=2∠cad，∴∠mpc=∠cad．
∵ac=cd，∴∠cad=∠cda，
∴∠mpc=∠cda．
∴∠mpf=∠cdm．
∵ac=ab，ae⊥bc，∴ce=be．
注：证全等也可得到ce=be
∴am为bc的中垂线，∴cm=bm．
注：证全等也可得到cm=bm
∵em⊥bc，∴em平分∠cmb，（等腰三角形三线合一）
∴∠cme=∠bme．
注：证全等也可得到∠cme=∠bme
∵∠bme=∠pmf，
∴∠pmf=∠cme，
∴∠mcd=∠f（三角形内角和）．
注：证三角形相似也可得到∠mcd=∠f