Question

积分上限函数的求导

Answer 1

d[∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/dx
=
[∫(0,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt
-
∫(0,x)
t*f(2x-t)dt]/δx
=
{∫(0,x)
t*[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]dt}/δx
+
[∫(x,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt]/δx
而因为[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]/δx
=
2f'(2x-t)
{∫(0,x)
t*[f(2x+2δx-t)-f(2x-t)]dt}/δx
=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
令g（t）=
t*f(2x+2δx-t)，记g(t)的原函数为g(t)
则[∫(x,x+δx)
t*f(2x+2δx-t)dt]/δx
=
[g(x+δx)-g(x)]/δx
=
g'(x)
=
g(x)
=
xf(x)（δx为无穷小）
原式=∫(0,x)
2t*f'(2x-t)dt
+
xf(x)
不能看做复合函数，因为运用复合函数求导公式时，复合函数的某个自变量必须在一个函数内。
如f[g(x)]，对x的导数是f'[g(x)]*g'(x)
而自变量不在同一个函数里的，如f[g(x),x]这时候就不能用复合函数求导公式，即f[g(x),x]的导数不等于f'[g(x)]*g'(x)。
若把原式看做复合函数，
令∫g(x)dx
(上限s,下限t)=
h[g(x),s,t]
则∫t*f(2x-t)dt（上限x,下限0）=
h[t*f(2x-t),x,0]，自变量x不在同一个函数内。

Answer 2