Question

微积分基本公式是如何推导出的？

Answer 1

导数有定义：lim[f(x+h)-f(x)]/h在h趋于0时的极限，任何导数都可以这样算出来，比如sinx导数
(sin(x+h)-sinx)/h=(sinxcosh+cosxsinh-sinx)/h=sinx(coxh-1)/h+cosxsinh/h
现在求h趋于0的极限由于1-cosx~x^2/2（等阶无穷小代换）所以sinx(cosh-1)/h的极限为0；而sinh/h极限等于1,就求出了sinx的导数是cosx
就是这么计算的。至于积分运算，由于积分的定义没有给出运算法则，所以只有根据导数规则来制定积分基本公式。

Answer 2

顺手写一个土法证明，解x,即y=ln(x)推得x=e^(y),两边对X求导，1=e^(y)*dy/dx,推得：dy/dx=1/e^(y),代入y,dy/dx=1/e^(ln(x)),得到：dy/dx=1/x,，没什么性质不性质吧，ln(x)函数的斜率是1/x.

Answer 3

1、定义函数φ(x)=
x(上限)∫a(下限)f(t)dt,则φ’(x)=f(x)。
证明:让函数φ(x)获得增量δx,则对应的函数增量
δφ=φ(x+δx)-φ(x)=x+δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt
显然,x+δx(上限)∫a(下限)f(t)dt-x(上限)∫a(下限)f(t)dt=x+δx(上限)∫x(下限)f(t)dt
而δφ=x+δx(上限)∫x(下限)f(t)dt=f(ξ)δx(ξ在x与x+δx之间,可由定积分中的中值定理推得,
也可自己画个图,几何意义是非常清楚的。)
当δx趋向于0也就是δφ趋向于0时,ξ趋向于x,f(ξ)趋向于f(x),故有lim
δx→0
δφ/δx=f(x)
可见这也是导数的定义,所以最后得出φ’(x)=f(x)。
2、b(上限)∫a(下限)f(x)dx=f(b)-f(a),f(x)是f(x)的原函数。
证明:我们已证得φ’(x)=f(x),故φ(x)+c=f(x)
但φ(a)=0(积分区间变为[a,a],故面积为0),所以f(a)=c
于是有φ(x)+f(a)=f(x),当x=b时,φ(b)=f(b)-f(a),
而φ(b)=b(上限)∫a(下限)f(t)dt,所以b(上限)∫a(下限)f(t)dt=f(b)-f(a)
把t再写成x,就变成了开头的公式,该公式就是牛顿-莱布尼茨公式。