求∫dx/((x^2+1)(x^2+x)不定积分
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设：
1/(x^2+1)(x^2+x)=[(ax+b)/(x^2+1)]+(c/x)+[d/(x+1)]
右边通分对应项相等，即可得到：
a=b=d=-1/2,c=1.
此时积分为：
原式
=-（1/2)∫(x+1)dx/(x^2+1)+∫dx/x-(1/2)∫dx/(x+1)
=-(1/2)∫xdx/(x^2+1)-(1/2)∫dx/(1+x^2)-lnx-(1/2)ln(x+1)
=-(1/4)∫d(x^2+1)/(x^2+1)-(1/2)arctanx-lnx-(1/2)ln(x+1)
=-(1/4)ln(1+x^2)-lnx-(1/2)ln(x+1)-(1/2)arctanx+c
=-ln[(1+x^2)^(1/4)*x*(x+1)^(1/2)]-(1/2)arctanx+c.
1/(x^2+1)(x^2+x)=[(ax+b)/(x^2+1)]+(c/x)+[d/(x+1)]
右边通分对应项相等，即可得到：
a=b=d=-1/2,c=1.
此时积分为：
原式
=-（1/2)∫(x+1)dx/(x^2+1)+∫dx/x-(1/2)∫dx/(x+1)
=-(1/2)∫xdx/(x^2+1)-(1/2)∫dx/(1+x^2)-lnx-(1/2)ln(x+1)
=-(1/4)∫d(x^2+1)/(x^2+1)-(1/2)arctanx-lnx-(1/2)ln(x+1)
=-(1/4)ln(1+x^2)-lnx-(1/2)ln(x+1)-(1/2)arctanx+c
=-ln[(1+x^2)^(1/4)*x*(x+1)^(1/2)]-(1/2)arctanx+c.
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设x=tant
dx=sec^2t
∫√(x^2+1)dx=∫√(tan^2t+1)sec^2tdt=∫sec^3t
然后分部积分
∫sec^3t=∫scetdtant=secttant-∫secttan^2tdt=secttant-∫sect(sec^2t-1)dt=secttant-∫sec^3tdt+∫sectdt
把∫sec^3t移项
后边就会了吧
最后结果1/2(secttant+ln|sect+tant|)+c
再把t=arctanx带入上式
不写了
dx=sec^2t
∫√(x^2+1)dx=∫√(tan^2t+1)sec^2tdt=∫sec^3t
然后分部积分
∫sec^3t=∫scetdtant=secttant-∫secttan^2tdt=secttant-∫sect(sec^2t-1)dt=secttant-∫sec^3tdt+∫sectdt
把∫sec^3t移项
后边就会了吧
最后结果1/2(secttant+ln|sect+tant|)+c
再把t=arctanx带入上式
不写了
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