Question

线性代数，求齐次方程组Ax=0的基础解系，如图

Answer 1

A就可以看成行最简形
r(A)=1,n=4
所以r（A）<
n,则存在无穷多解。
解得
x1=-x2-x3-x4
x1为真未知量，x2，x3，x4为自由未知量
令（x2，x3，x4）
^T=（1，0,
0）^T
解得x1
=
-1
令（x2，x3，x4）
^T=（0，1,
0）^T
解得x1
=
-1
令（x2，x3，x4）
^T=（0，0,
1）^T
解得x1
=
-1
所以基础解系为：
（-1
,1，0,0）^T
,（-1
,0，1,0）^T
,（-1
,0，0,1）^T

Answer 2

因为
解空间维数+r（a）=n
所以解空间维数等于
n-r(a）
而r(β1、β2)是解空间的由(β1、β2)生成的子空间的维数，当然小于等于解空间维数
所以
r(β1、β2)小于或等于
n-r(a）
β1、β2未必是线性相关的
不然解空间维数不恒为1了吗
。。。。。。。。。。。。。
那我也给你补充一下吧
题目是这样的话，就相当于
β1、β2均是齐次方程组ax=0的解
其中a是由α1，α2，α3拼成的，所以r(a)=3
且n=4（4维全空间）
所以r(β1、β2)<=n-r(a）=1
所以两个向量张成1维空间（共线），或者0维空间（这种情况下都为0解）
总之是相关的