Question

求定积分的两个简便公式

Answer 1

是用递推式和分部积分法得到的。其详细过程是，设In=∫(0,π/2)(sinx)^ndx【In中的n表示sinx的n次方对应的表达式，I(n-1)就以此类推】。
In=∫(0,π/2)(sinx)^(n-1)d(-cosx)=-cosx(sinx)^(n-1)丨(x=0,π/2)+(n-1)∫∫(0,π/2)(sinx)^(n-2)cos²xdx=(n-1)[I(n-2)-In]。∴In=[(n-1)/n]I(n-2)。∴I(n-2)=[(n-3)/(n-2)]I(n-4)。
∴In={(n-1)(n-3)/[n(n-1)]}I(n-4)=……。当n为偶数时，最后一项是I2=∫(0,π/2)sin²xdx=π/2。当n为奇数时，最后一项是I1=∫(0,π/2)sinxdx=1。
故，有如是表达式【令In=∫(0,π/2)(cosx)^ndx，仿前述过程亦可得】。供参考。
,

Answer 2

Answer 3

追问

不是这两个

但是我不知道哪里写错了

网上也搜不到

追答

这个叫华里士公式

递推公式I(n)=(n-1)*I(n-2)/n.

I(2n)=(2n-1)!/(2n)!*pi/2

I(2n-1)=(2n-1)!/(2n)!

2n!表示双阶乘 =2n（2n-2）...2

(2n-1)!=(2n-1)(2n-3)..3*1

可以自行百度一下华里士公式，上面有很详细的解释