Question

求（n+1）x^n的和函数，其中n从1到无穷大

Answer 1

简单计算一下即可，答案如图所示

Answer 2

解：少了两个括号吧。
+∞
+∞
∑
(-1)^(n+1)*x^(n+1)/[n(n+1)]=∑
(-x)^(n+1)/[n(n+1)]
n=1
n=1
+∞
=∫dx∫d^2{∑
(-x)^(n+1)/[n(n+1)]}/dx^2
dx
（即对x求导两次再积分两次）
n=1
+∞
=∫dx∫
∑
(-x)^(n-1)
dx
=∫dx∫
1/(1+x)
dx
=∫ln(1+x)dx=xln(1+x)-∫x/(1+x)dx=(x+1)ln(x+1)-x
n=1
注意积分时的上下限，应该是从0积到x的变上限积分（不妨最后再令x=0验算下）。
计算过程中，等比数列的无穷级数要收敛，必须满足|x|<1。
但是，|x|=1时要验算下。当|x|=1时，显然n->+∞时，|(-x)^(n+1)/[n(n+1)]|->0，而
|(-x)^(n+1)/[n(n+1)]|=1/[n(n+1)]=1/n-1/(n+1)
故级数和|(-x)^(n+1)/[n(n+1)]|收敛于1/1=1，则级数和|(-x)^(n+1)/[n(n+1)]|必收敛。
综上知，原级数的收敛域为|x|≤1
如果本题是：
+∞
+∞
+∞
∑
(-1)^(n+1)*(x^n+1)/[n(n+1)]=1/x*∑
(-x)^(n+1)/[n(n+1)]+∑
(-1)^(n+1)/[n(n+1)]
n=1
n=1
n=1
由前面的计算可知，右端第一个级数收敛于[(x+1)ln(x+1)-x]/x，前提是|x|≤1且x≠0。右端第二个级数必收敛。
那么需考虑x=0时原级数是否收敛，显然是收敛的。故原级数的收敛域是|x|≤1.
不明白请追问。