Question

以知二次函数Y=（M^-2）x^2-4mx+n的图象关于直线X=2对称，且它的最高点在直线Y=1/2X+1上。

1.求此二次函数的解析式
2.若此抛物线的开口方向不变，顶点在直线Y=1/2+1上移动到点M时，图象与X轴交于A，B两点，且S△ABM=8，求此时的二次函数的解析式。

Answer 1

1. 二次函数的图象关于直线X=2对称且它的最高点,即顶点在直线Y=1/2X+1上
y=(1/2)×2+1 = 2
顶点坐标(2，2）
二次函数的对称轴x=-b/2a , 即：x=-(-4m)/2(m^2-2) = 2m/(m^2 - 2)
二次函数的图象关于直线X=2对称
x=2m/ (m^2 - 2)=2
m=m^2 - 2
m=-1或m=2
∵二次函数有最高点在直线Y=1/2X+1上
∴m^2 - 2＜0
∴m=-1
y=-x^2 - 4x+ n =-(x-2)^2 +4+n， 4+n=2 , n=-2
因此，二次函数的解析式： y=-x^2 + 4x -2

2.根据题意设点M的坐标(m , m/2 +1 )
则抛物线y=-(x-m)^2 + m/2 + 1 =- x^2 + 2mx - m^2 + m/2 + 1
图象与X轴交于A，B两点 , y=0
则有 ： x1+x2=-2m ,x1x2=m^2 - m/2 - 1
△ABM以AB为底，而高为(m/2 +1)
|AB|=|x2-x1|=√(x2 - x1)^2=√[(x2+x1)^2-4x1x2]=√(4m^2-4m^2+2m+4) =√(2m+4)
S△ABM=(1/2)×|AB|×h=(1/2)×√(2m+4) × (m/2 + 1)=8
解得： m=6
二次函数的解析式：y=-(x-6)^2 + 4 = -x^2 + 12x -32

Answer 2

1. 二次函数的图象关于直线X=2对称且它的最高点,即顶点在直线Y=1/2X+1上
y=(1/2)×2+1 = 2
顶点坐标(2，2）
该二次函数的对称轴为x=-(-4m)/2(m^-2) = 2m^3
二次函数的图象关于直线X=2对称，所以
2m^3=2，得：m=1，此时
y=x^2-4x+n=(x-2)^2+n-4
∵二次函数有最高点在直线Y=1/2X+1上
则顶点坐标为（2，2）于是得到n=6
因此，二次函数的解析式： y=-x^2 -4x+6
2.根据题意设点M的坐标(m , m/2 +1 )
则抛物线y=(x-m)^2 + m/2 + 1 =x^2 -2mx +m^2 + m/2 + 1
图象与X轴交于A，B两点 , y=0
则有 ： x1+x2=2m ,x1x2=m^2 +m/2 +1
△ABM以AB为底，而高为-(m/2 +1)
|AB|=|x2-x1|=√(x2 - x1)^2=√[(x2+x1)^2-4x1x2]=√(4m^2-4m^2-2m-4) =√(-2m-4)
S△ABM=(1/2)×|AB|×h=(1/2)×√(-2m-4) × (-m/2 -1)=8
解得： m=2
二次函数的解析式：y=(x-2)^2 + 3= x^2 -4x +7