如图,在三角形ABC中,AM是BC边上的中线。求证:AM大于二分之一(AB+AC)-BM。
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证明：在三角形ABM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AB-BM<AM①
在三角形ACM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AC-CM<AM②
又AM是BC边上的中线
从而BM=CM③
因此①+②得AB+AC-BM-CM<2AM
由③得AB+AC-2BM<2AM
因此AM<1/2(AB+AC-2BM)=1/2(AB+AC)-BM
∴AM大于二分之一(AB+AC)-BM
AB-BM<AM①
在三角形ACM中，根据三角形两边之差小于第三边，得
AC-CM<AM②
又AM是BC边上的中线
从而BM=CM③
因此①+②得AB+AC-BM-CM<2AM
由③得AB+AC-2BM<2AM
因此AM<1/2(AB+AC-2BM)=1/2(AB+AC)-BM
∴AM大于二分之一(AB+AC)-BM
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