Question

已知函数f （x）=x3-3ax+1，a∈R．（Ⅰ） 求f （x）的单调区间；（...

已知函数f （x）=x3-3ax+1，a∈R． （Ⅰ） 求f （x）的单调区间； （Ⅱ） 求所有的实数a，使得不等式-1≤f （x）≤1对x∈[0，3]恒成立．

Answer 1

解：（I）∵f （x）=x3-3ax+1，
∴f′（x）=3x2-3a，
当a≤0时，f′（x）≥0恒成立，f （x）的单调增区间为R；
当a＞0时，由f′（x）＞0得x＜-a或x＞a
故f （x）的单调增区间为（-∞，-a）和（a，+∞），f （x）的单调减区间为（-a，a）
（II）当a≤0时，由（I）可知f （x）在[0，3]递增，且f（0）=1，此时无解；
当0＜a＜3时，由（I）可知f （x）在∈[0，-a）上递减，在（a，3]递增，
∴f （x）在[0，3]的最小值为f（a）=1-2aa
∴f(a)≥1f(3)≤1f(0)≤1，即aa≤1a≥1
解得：a=1
当a≥3时，由（I）可知f （x）在[0，3]上递减，且f（0）=1，
∴f(3)=33-33a+1≥-1
解得：a≤1+239
此时无解
综上a=1